9 класс, С–3, В–1. 2. В параллелограмме KMNP точка B — середина стороны MN, A — точка на отрезке PN, такая, что PA : AN = 2 : 1. Выразите векторы \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{AB}\) через векторы \(\vec m=\overrightarrow{KM}\) и \(\vec n=\overrightarrow{KP}\).

Положим начало в точке K. Тогда радиус-векторы вершин: \(\overrightarrow{KM}=\vec m\), \(\overrightarrow{KP}=\vec n\), а по свойству параллелограмма \(\overrightarrow{KN}=\vec m+\vec n\).

Так как \(PA:AN=2:1\), точка A делит PN в отношении 2:1 от P к N. Поэтому \(\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KP}+\frac23\overrightarrow{PN}=\vec n+\frac23\vec m\).

Поскольку B — середина MN, \(\overrightarrow{KB}=\frac12(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN})=\vec m+\frac12\vec n\).

Вычитая радиус-векторы начала из радиус-векторов конца, получаем:

\(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n-\frac13\vec m\).

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\frac13\vec m-\frac12\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac13\vec m\), \(\overrightarrow{AB}=\frac13\vec m-\frac12\vec n\).