9. MBND — параллелограмм. На прямой MN отметили точки A и C так, что AM = NC. Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Так как \(MBND\) — параллелограмм, его диагонали \(MN\) и \(BD\) пересекаются и делятся пополам.

Точки \(A,M,N,C\) лежат на одной прямой, причём \(AM=NC\). Поэтому середина отрезка \(MN\) одновременно является серединой отрезка \(AC\).

Обозначим середину диагоналей параллелограмма \(MBND\) через \(O\). Тогда \(OM=ON\). Из равенства \(AM=NC\) и расположения точек на одной прямой следует, что \(OA=OC\). Значит, точка \(O\) является серединой и отрезка \(AC\).

Кроме того, \(O\) — середина диагонали \(BD\). Следовательно, диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются и делятся пополам.

По признаку параллелограмма \(ABCD\) является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.