9. Монету бросают 5 раз a) Выпишите все элементарные исходы этого опыта, благоприятствующие событию «орел выпал хотя бы четыре раза». б) Найдите вероятность события «орел выпал ровно три раза».

Привет! Давай разберемся с бросками монеты.

а) Орел выпал хотя бы четыре раза

Под "хотя бы четыре раза" понимаем случаи, когда орел выпал ровно 4 раза ИЛИ ровно 5 раз.

Обозначим О — орел, Р — решка.

Случай 1: Орел выпал ровно 5 раз.

Это только один исход:

ООООО

Случай 2: Орел выпал ровно 4 раза.

Это значит, что одна решка и четыре орла. Решка может выпасть на любой из 5 позиций. Перечислим все варианты:

• Роооо


• Орооо


• Оороо


• Оооро


• ОоооР

Всего благоприятных исходов для события «орел выпал хотя бы четыре раза»:

1 (случай с 5 орлами) + 5 (случаев с 4 орлами) = 6 исходов.

Элементарные исходы:

ООООО, Роооо, Орооо, Оороо, Оооро, ОоооР.

б) Вероятность события «орел выпал ровно три раза»

Для этого используем формулу Бернулли, так как у нас независимые испытания с двумя исходами (орел/решка).

Формула Бернулли:

\[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где:

• n = 5 (общее количество бросков).
• k = 3 (количество орлов, которое нам нужно).
• p = 0,5 (вероятность выпадения орла).
• q = 1 - p = 0,5 (вероятность выпадения решки).
• C_n^k — число сочетаний из n по k.

Сначала найдем число сочетаний C_5^3:

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \]

Теперь подставим в формулу Бернулли:

\[ P_5(3) = 10 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^{5-3} \]

\[ P_5(3) = 10 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^2 \]

\[ P_5(3) = 10 \cdot (0,5)^{3+2} = 10 \cdot (0,5)^5 \]

Рассчитаем \( (0,5)^5 \):

\[ (0,5)^5 = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} \]

Теперь умножим:

\[ P_5(3) = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

Переведем в десятичную дробь:

\[ 5 \div 16 = 0.3125 \]

Ответ: а) Орел выпал хотя бы четыре раза: ООООО, Роооо, Орооо, Оороо, Оооро, ОоооР. б) Вероятность события «орел выпал ровно три раза» равна 5/16 или 0,3125.