9. Найдите корень уравнения \( (x+6)^2 = (11-x)^2 \).

Решение:

Уравнение имеет вид \( A^2 = B^2 \), что эквивалентно \( A^2 - B^2 = 0 \), или \( (A-B)(A+B) = 0 \).

Применим это к нашему уравнению, где \( A = (x+6) \) и \( B = (11-x) \).

Случай 1: \( A - B = 0 \)

\( (x+6) - (11-x) = 0 \)

\( x + 6 - 11 + x = 0 \)

\( 2x - 5 = 0 \)

\( 2x = 5 \)

\( x = \frac{5}{2} = 2.5 \)

Случай 2: \( A + B = 0 \)

\( (x+6) + (11-x) = 0 \)

\( x + 6 + 11 - x = 0 \)

\( 17 = 0 \)

Это равенство неверно, значит, этот случай не дает решений.

Таким образом, единственным корнем уравнения является \( x = 2.5 \).

Проверка:

При \( x = 2.5 \):

Левая часть: \( (2.5 + 6)^2 = (8.5)^2 = 72.25 \)

Правая часть: \( (11 - 2.5)^2 = (8.5)^2 = 72.25 \)

Левая часть равна правой, значит, корень найден верно.

Ответ: 2.5.