9. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}}\).

Решение:

Используем свойства корней: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\) и \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\).

1. Сначала перемножим корни в числителе: \(\sqrt{21} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{21 \cdot 14} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7^2} = 7\sqrt{6}\).
2. Теперь разделим полученное выражение на корень в знаменателе: \(\frac{7\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 7\).

Другой способ:

1. Объединим все под один корень: \(\sqrt{\frac{21 \cdot 14}{6}}\).
2. Сократим дробь: \(\frac{21 \cdot 14}{6} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7)}{2 \cdot 3} = 7 \cdot 7 = 49\).
3. Найдем корень из 49: \(\sqrt{49} = 7\).

Ответ: 7