12. Равнобокая трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения и площадь боковой поверхности.

Решение:

Тело вращения состоит из цилиндра и двух конусов. Большее основание равно \( a = 18 \) см, меньшее основание \( b = 12 \) см, высота трапеции \( h = 4 \) см.

Так как трапеция равнобокая, то боковые стороны равны. Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника с катетами \( h=4 \) и \( x \).

\( x = \frac{a - b}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

1. Объем тела вращения:

Тело вращения представляет собой цилиндр с радиусом \( R = h = 4 \) см и высотой, равной меньшему основанию \( b = 12 \) см, к которому присоединены два конуса с радиусом \( R = h = 4 \) см и образующей \( l \).

Высота цилиндра \( H_{cyl} = 12 \) см.

Объем цилиндра: \( V_{cyl} = \pi R^2 H_{cyl} = \pi · 4^2 · 12 = \pi · 16 · 12 = 192\pi \) см³.

Найдем образующую \( l \) конусов по теореме Пифагора:

\[ l^2 = R^2 + x^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \]\[ l = \(\sqrt{25}\) = 5 \) см.

Объем одного конуса: \( V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 x = \frac{1}{3} · \pi · 4^2 · 3 = \pi · 16 = 16\pi \) см³.

Общий объем тела вращения: \( V = V_{cyl} + 2 · V_{cone} = 192\pi + 2 · 16\pi = 192\pi + 32\pi = 224\pi \) см³.

2. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности состоит из площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух конусов.

Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{cyl} = 2 · \pi · R · H_{cyl} = 2 · \pi · 4 · 12 = 96\pi \) см².

Площадь боковой поверхности одного конуса: \( S_{cone} = \pi R l = \pi · 4 · 5 = 20\pi \) см².

Общая площадь боковой поверхности: \( S = S_{cyl} + 2 · S_{cone} = 96\pi + 2 · 20\pi = 96\pi + 40\pi = 136\pi \) см².

Ответ: Объем тела вращения \( 224\pi \) см³, площадь боковой поверхности \( 136\pi \) см².