9. Не пользуясь калькулятором, сравните числа \(\frac{2\sqrt5-1}{3}\) и \(\frac{4\sqrt3-3}{3}\).

Умножение на 3 сохраняет порядок, поэтому сравним числители: \(2\sqrt5-1\) и \(4\sqrt3-3\). Их разность равна \(2\sqrt5-4\sqrt3+2=2(\sqrt5+1-2\sqrt3)\).

Обе величины \(\sqrt5+1\) и \(2\sqrt3\) положительны. Сравним их квадраты: \((\sqrt5+1)^2=6+2\sqrt5\), а \((2\sqrt3)^2=12\). Поскольку \(\sqrt5<3\), имеем \(6+2\sqrt5<12\), следовательно, \(\sqrt5+1<2\sqrt3\).

Разность числителей отрицательна, значит, первое число меньше второго.

Ответ: \(\frac{2\sqrt5-1}{3}<\frac{4\sqrt3-3}{3}\).