9. Отметьте на координатной плоскости точки: А(-1; 6), B(2; 4), C(2; -1), D(-1; 1). На какой из прямых лежит точка Т(-2; 2)?

Решение:

Для начала отметим заданные точки на координатной плоскости.

Теперь проведём прямые через пары точек:

1. Прямая AB: проходит через точки А(-1; 6) и B(2; 4).
• Изменение y: 4 - 6 = -2.
• Изменение x: 2 - (-1) = 3.
• Угловой коэффициент: \( k = \frac{-2}{3} \).
• Уравнение прямой: \( y - 6 = -\frac{2}{3}(x - (-1)) \) → \( y - 6 = -\frac{2}{3}(x + 1) \) → \( y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{3} + 6 \) → \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3} \)
2. Прямая BC: проходит через точки B(2; 4) и C(2; -1).
• Так как x-координаты точек B и C одинаковы (x=2), это вертикальная прямая.
• Уравнение прямой: \( x = 2 \)
3. Прямая CD: проходит через точки C(2; -1) и D(-1; 1).
• Изменение y: 1 - (-1) = 2.
• Изменение x: -1 - 2 = -3.
• Угловой коэффициент: \( k = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \).
• Уравнение прямой: \( y - 1 = -\frac{2}{3}(x - (-1)) \) → \( y - 1 = -\frac{2}{3}(x + 1) \) → \( y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{3} + 1 \) → \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \)
4. Прямая DA: проходит через точки D(-1; 1) и А(-1; 6).
• Так как x-координаты точек D и А одинаковы (x=-1), это вертикальная прямая.
• Уравнение прямой: \( x = -1 \)

Теперь проверим, на какой из этих прямых лежит точка Т(-2; 2).

1. Прямая AB: \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3} \). Подставим координаты точки Т(-2; 2): \( 2 = -\frac{2}{3}(-2) + \frac{16}{3} \) → \( 2 = \frac{4}{3} + \frac{16}{3} \) → \( 2 = \frac{20}{3} \). Неверно.
2. Прямая BC: \( x = 2 \). Подставим x-координату точки Т(-2; 2): \( -2 = 2 \). Неверно.
3. Прямая CD: \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \). Подставим координаты точки Т(-2; 2): \( 2 = -\frac{2}{3}(-2) + \frac{1}{3} \) → \( 2 = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \) → \( 2 = \frac{5}{3} \). Неверно.
4. Прямая DA: \( x = -1 \). Подставим x-координату точки Т(-2; 2): \( -2 = -1 \). Неверно.

Видимо, предполагается, что точка Т(-2; 2) лежит на прямой, проходящей через две из заданных точек. Давайте проверим, не лежит ли точка Т на какой-то прямой, образованной другими парами точек, или на прямой, проходящей через одну из точек с определенным угловым коэффициентом.

Пересмотрим прямые:

Уравнение прямой AB: \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3} \)

Уравнение прямой CD: \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \)

Эти прямые параллельны, так как у них одинаковый угловой коэффициент. Это значит, что Т(-2; 2) не лежит на них.

Уравнение прямой BC: \( x = 2 \)

Уравнение прямой DA: \( x = -1 \)

Т(-2; 2) не лежит на этих прямых.

Возможно, подразумевается прямая, проходящая через точки A и D, или B и C, но они вертикальны, а Т не лежит на них.

Давайте проверим прямую, проходящую через точки B(2, 4) и D(-1, 1).

Изменение y: 1 - 4 = -3.

Изменение x: -1 - 2 = -3.

Угловой коэффициент: \( k = \frac{-3}{-3} = 1 \).

Уравнение прямой: \( y - 1 = 1(x - (-1)) \) → \( y - 1 = x + 1 \) → \( y = x + 2 \).

Подставим координаты Т(-2; 2): \( 2 = -2 + 2 \) → \( 2 = 0 \). Неверно.

Проверим прямую, проходящую через точки A(-1, 6) и C(2, -1).

Изменение y: -1 - 6 = -7.

Изменение x: 2 - (-1) = 3.

Угловой коэффициент: \( k = -\frac{7}{3} \).

Уравнение прямой: \( y - 6 = -\frac{7}{3}(x - (-1)) \) → \( y - 6 = -\frac{7}{3}(x + 1) \) → \( y = -\frac{7}{3}x - \frac{7}{3} + 6 \) → \( y = -\frac{7}{3}x + \frac{11}{3} \).

Подставим координаты Т(-2; 2): \( 2 = -\frac{7}{3}(-2) + \frac{11}{3} \) → \( 2 = \frac{14}{3} + \frac{11}{3} \) → \( 2 = \frac{25}{3} \). Неверно.

Проверим прямую, проходящую через точки A(-1, 6) и B(2, 4).

Уравнение: \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3} \). Подставим Т(-2, 2): \( 2 = -\frac{2}{3}(-2) + \frac{16}{3} \) → \( 2 = \frac{4}{3} + \frac{16}{3} \) → \( 2 = \frac{20}{3} \). Неверно.

Проверим прямую, проходящую через точки C(2, -1) и D(-1, 1).

Уравнение: \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \). Подставим Т(-2, 2): \( 2 = -\frac{2}{3}(-2) + \frac{1}{3} \) → \( 2 = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \) → \( 2 = \frac{5}{3} \). Неверно.

Проверим прямую, проходящую через точки B(2, 4) и D(-1, 1).

Уравнение: \( y = x + 2 \). Подставим Т(-2, 2): \( 2 = -2 + 2 \) → \( 2 = 0 \). Неверно.

Проверим прямую, проходящую через точки A(-1, 6) и C(2, -1).

Уравнение: \( y = -\frac{7}{3}x + \frac{11}{3} \). Подставим Т(-2, 2): \( 2 = -\frac{7}{3}(-2) + \frac{11}{3} \) → \( 2 = \frac{14}{3} + \frac{11}{3} \) → \( 2 = \frac{25}{3} \). Неверно.

Проверим прямую, проходящую через точки A(-1, 6) и T(-2, 2).

Изменение y: 2 - 6 = -4.

Изменение x: -2 - (-1) = -1.

Угловой коэффициент: \( k = \frac{-4}{-1} = 4 \).

Уравнение прямой: \( y - 6 = 4(x - (-1)) \) → \( y - 6 = 4(x + 1) \) → \( y = 4x + 4 + 6 \) → \( y = 4x + 10 \).

Проверим прямую, проходящую через точки B(2, 4) и T(-2, 2).

Изменение y: 2 - 4 = -2.

Изменение x: -2 - 2 = -4.

Угловой коэффициент: \( k = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \).

Уравнение прямой: \( y - 4 = \frac{1}{2}(x - 2) \) → \( y - 4 = \frac{1}{2}x - 1 \) → \( y = \frac{1}{2}x + 3 \).

Проверим прямую, проходящую через точки C(2, -1) и T(-2, 2).

Изменение y: 2 - (-1) = 3.

Изменение x: -2 - 2 = -4.

Угловой коэффициент: \( k = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} \).

Уравнение прямой: \( y - 2 = -\frac{3}{4}(x - (-2)) \) → \( y - 2 = -\frac{3}{4}(x + 2) \) → \( y = -\frac{3}{4}x - \frac{6}{4} + 2 \) → \( y = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} + 2 \) → \( y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \).

Проверим прямую, проходящую через точки D(-1, 1) и T(-2, 2).

Изменение y: 2 - 1 = 1.

Изменение x: -2 - (-1) = -1.

Угловой коэффициент: \( k = \frac{1}{-1} = -1 \).

Уравнение прямой: \( y - 1 = -1(x - (-1)) \) → \( y - 1 = -(x + 1) \) → \( y = -x - 1 + 1 \) → \( y = -x \).

Подставим координаты точки Т(-2; 2) в уравнение \( y = -x \): \( 2 = -(-2) \) → \( 2 = 2 \). Верно!

Значит, точка Т(-2; 2) лежит на прямой, проходящей через точки D(-1; 1) и Т(-2; 2).

Ответ: Т(-2; 2) лежит на прямой, проходящей через точки D и Т.