9. Площадь под параболой у = 4x - x².

Решение:

Чтобы найти площадь под параболой \( y = 4x - x^2 \), сначала найдем точки пересечения параболы с осью Ox, для этого приравняем \( y \) к нулю:

\[ 4x - x^2 = 0 \]\[ x(4-x) = 0 \]\[ x_1 = 0, x_2 = 4 \]

Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ox, вычисляется как определенный интеграл от \( x=0 \) до \( x=4 \):

\[ S = \int_0^4 (4x - x^2) dx \]

Найдем первообразную:

\[ F(x) = \int (4x - x^2) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 2x^2 - \frac{x^3}{3} \]

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = F(4) - F(0) = \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) \]\[ S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - (0 - 0) \]\[ S = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: Площадь под параболой равна \( \frac{32}{3} \).