9. Решить уравнение 6 / (x² - 9) = (x+1) / (x-3) + 1 / (x+3).

Задание 9. Решение уравнения

Условие: Решить уравнение \( \frac{6}{x^2 - 9} = \frac{x+1}{x-3} + \frac{1}{x+3} \).

Решение:

1. Приведём знаменатели к общему виду. Заметим, что \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).
   Исходное уравнение: \( \frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{x+1}{x-3} + \frac{1}{x+3} \)
2. Определим ОДЗ (область допустимых значений):
   Знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \).
3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (x-3)(x+3) \):
   \( 6 = (x+1)(x+3) + 1(x-3) \)
4. Раскроем скобки:
   \( 6 = (x^2 + 3x + x + 3) + (x-3) \)
   \( 6 = x^2 + 4x + 3 + x - 3 \)
5. Приведём подобные слагаемые:
   \( 6 = x^2 + 5x \)
6. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( x^2 + 5x - 6 = 0 \)
7. Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета или через дискриминант). По теореме Виета: сумма корней равна -5, произведение корней равно -6.
   Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -6 \).
8. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ:
   \( x_1 = 1 \) не равно 3 и -3. Подходит.
   \( x_2 = -6 \) не равно 3 и -3. Подходит.

Ответ: Корни уравнения: 1; -6.