№9. Решить уравнение \(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x+6}=6\).

Область допустимых значений: \(x\ge1\). Перенесём один корень: \(\sqrt{2x+6}=6-\sqrt{x-1}\).

Возведём в квадрат: \(2x+6=36-12\sqrt{x-1}+x-1\), поэтому \(12\sqrt{x-1}=29-x\). Отсюда дополнительно требуется \(x\le29\).

Снова возведём в квадрат: \(144(x-1)=(29-x)^2\). После упрощения получаем \(x^2-202x+985=0\).

Корни квадратного уравнения: \(x=5\) и \(x=197\). Условию \(x\le29\) удовлетворяет только \(x=5\).

Проверка: \(\sqrt{5-1}+\sqrt{2\cdot5+6}=2+4=6\).

Ответ: \(x=5\).