9) Решите неравенство (x-3) / ((4x-2)(x+2)) ≤ 0.

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов найдём корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( x - 3 = 0 \implies x = 3 \)

Знаменатель: \( (4x - 2)(x + 2) = 0 \)

\( 4x - 2 = 0 \implies 4x = 2 \implies x = \frac{1}{2} \)

\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)

Отметим корни на числовой прямой: -2, 1/2, 3. Эти точки разбивают числовую прямую на 4 интервала:

1. \( (-\infty; -2) \)

2. \( (-2; \frac{1}{2}) \)

3. \( (\frac{1}{2}; 3) \)

4. \( (3; +\infty) \)

Определим знак выражения \( \frac{x-3}{(4x-2)(x+2)} \) в каждом интервале:

1. Возьмём \( x = -3 \): \( \frac{-3-3}{(4(-3)-2)(-3+2)} = \frac{-6}{(-12-2)(-1)} = \frac{-6}{(-14)(-1)} = \frac{-6}{14} < 0 \)

2. Возьмём \( x = 0 \): \( \frac{0-3}{(4(0)-2)(0+2)} = \frac{-3}{(-2)(2)} = \frac{-3}{-4} > 0 \)

3. Возьмём \( x = 1 \): \( \frac{1-3}{(4(1)-2)(1+2)} = \frac{-2}{(2)(3)} = \frac{-2}{6} < 0 \)

4. Возьмём \( x = 4 \): \( \frac{4-3}{(4(4)-2)(4+2)} = \( \frac{1}{(14)(6)} = \frac{1}{84} > 0 \)

Нам нужно \( \le 0 \). Решениями являются интервалы, где знак "-", а также точка \( x=3 \) (так как числитель равен нулю).

\( (-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; 3] \)

Ответ: \((-\infty; -2) \cup (\frac{1}{2}; 3]\)