9. Решите систему уравнений [|x|-y|=2, 4x+|3y|=15.

Привет! Давай решим эту систему с модулями. Модули усложняют задачу, поэтому нам придется рассмотреть разные случаи.

Система:

\[ \begin{cases} |x| - y = 2 \\ 4x + |3y| = 15 \end{cases} \]

Шаг 1: Анализируем первое уравнение.

|x| - y = 2

Отсюда y = |x| - 2.

Это значит, что y может быть только больше или равен -2 (поскольку |x| ≥ 0).

Шаг 2: Рассматриваем случаи для |x|.

Случай 1: x ≥ 0

Тогда |x| = x.

Подставляем |x| = x и y = x - 2 во второе уравнение:

\[ 4x + |3(x - 2)| = 15 \]

Теперь нужно рассмотреть два подслучая для |3(x - 2)|:

Случай 1.1: 3(x - 2) ≥ 0, то есть x - 2 ≥ 0, или x ≥ 2.

Тогда |3(x - 2)| = 3(x - 2).

\[ 4x + 3(x - 2) = 15 \]

\[ 4x + 3x - 6 = 15 \]

\[ 7x = 21 \]

\[ x = 3 \]

Проверяем условие x ≥ 2: 3 ≥ 2. Верно.

Найдем y: y = x - 2 = 3 - 2 = 1.

Решение 1: (3; 1)

Случай 1.2: 3(x - 2) < 0, то есть x < 2. (Учитываем, что мы в Случае 1, где x ≥ 0, поэтому рассматриваем 0 ≤ x < 2).

Тогда |3(x - 2)| = -3(x - 2).

\[ 4x - 3(x - 2) = 15 \]

\[ 4x - 3x + 6 = 15 \]

\[ x = 9 \]

Проверяем условие 0 ≤ x < 2: 9 < 2. Неверно. Этот случай не дает решений.

Случай 2: x < 0

Тогда |x| = -x.

Подставляем |x| = -x и y = -x - 2 во второе уравнение:

\[ 4x + |3(-x - 2)| = 15 \]

Случай 2.1: 3(-x - 2) ≥ 0, то есть -x - 2 ≥ 0, или -x ≥ 2, или x ≤ -2.

Тогда |3(-x - 2)| = 3(-x - 2).

\[ 4x + 3(-x - 2) = 15 \]

\[ 4x - 3x - 6 = 15 \]

\[ x = 21 \]

Проверяем условие x ≤ -2: 21 ≤ -2. Неверно. Этот случай не дает решений.

Случай 2.2: 3(-x - 2) < 0, то есть -x - 2 < 0, или -x < 2, или x > -2. (Учитываем, что мы в Случае 2, где x < 0, поэтому рассматриваем -2 < x < 0).

Тогда |3(-x - 2)| = -3(-x - 2).

\[ 4x - 3(-x - 2) = 15 \]

\[ 4x + 3x + 6 = 15 \]

\[ 7x = 9 \]

\[ x = \( \frac{9}{7} \) \]

Проверяем условие -2 < x < 0: \( \frac{9}{7} \) < 0. Неверно. Этот случай не дает решений.

Проверка решения (3; 1):

• Первое уравнение: |3| - 1 = 3 - 1 = 2. Верно.
• Второе уравнение: 4(3) + |3(1)| = 12 + |3| = 12 + 3 = 15. Верно.

Ответ: (3; 1)