9. Решите уравнение \( \frac{x+5}{3} = \frac{8}{x} \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
2. \( \frac{x+5}{3} - \frac{8}{x} = 0 \)
3. Приведём дроби к общему знаменателю \( 3x \):
4. \( \frac{x(x+5)}{3x} - \frac{3 \cdot 8}{3x} = 0 \)
5. \( \frac{x^2 + 5x - 24}{3x} = 0 \)
6. Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть \( x \neq 0 \)):
7. \( x^2 + 5x - 24 = 0 \)
8. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: сумма корней равна \( -5 \), произведение — \( -24 \). Подбираем числа: \( 8 \) и \( -3 \).
9. Проверим: \( 8 + (-3) = 5 \) (не подходит, сумма должна быть -5).
10. Попробуем \( -8 \) и \( 3 \). Сумма: \( -8 + 3 = -5 \). Произведение: \( -8 \cdot 3 = -24 \). Корни найдены: \( x_1 = -8 \) и \( x_2 = 3 \).
11. Оба корня не равны 0, значит, они подходят.
12. Меньший из корней — \( -8 \).

Ответ: -8.