9. Решите уравнение (х+6)² = (x - 7)²

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные члены, или воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

Способ 1: Раскрытие скобок

1. Раскроем квадраты: \( x^2 + 12x + 36 = x^2 - 14x + 49 \).
2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( x^2 + 12x + 36 - x^2 + 14x - 49 = 0 \).
3. Приведём подобные члены: \( (x^2 - x^2) + (12x + 14x) + (36 - 49) = 0 \) → \( 26x - 13 = 0 \).
4. Решим полученное линейное уравнение: \( 26x = 13 \) → \( x = \frac{13}{26} = \frac{1}{2} \).

Способ 2: Разность квадратов

1. Перенесём правую часть уравнения в левую: \( (x+6)^2 - (x-7)^2 = 0 \).
2. Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = x+6 \) и \( b = x-7 \): \( ((x+6) - (x-7))((x+6) + (x-7)) = 0 \).
3. Упростим выражения в скобках: \( (x+6-x+7)(x+6+x-7) = 0 \) → \( (13)(2x-1) = 0 \).
4. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как \( 13 \neq 0 \), то \( 2x-1 = 0 \).
5. Решим полученное уравнение: \( 2x = 1 \) → \( x = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{1}{2} \)