9. Решите уравнение x(x^2 + 2x + 1) = 6(x + 1).

Задание 9. Решение кубического уравнения

Дано уравнение \( x(x^2 + 2x + 1) = 6(x + 1) \).

Заметим, что выражение в скобках \( x^2 + 2x + 1 \) является полным квадратом: \( (x+1)^2 \).

Перепишем уравнение:

\[ x(x+1)^2 = 6(x+1) \]

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

\[ x(x+1)^2 - 6(x+1) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x+1) \) за скобки:

\[ (x+1) [x(x+1) - 6] = 0 \]

Раскроем скобки во втором множителе:

\[ (x+1) [x^2 + x - 6] = 0 \]

Теперь у нас произведение двух множителей равно нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1:

\[ x+1 = 0 \implies x = -1 \]

Случай 2:

Решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 6 = 0 \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Первый корень:

\[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Второй корень:

\[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Итак, уравнение имеет три корня: \( -1, 2, -3 \).

Ответ: -3 -1 2