9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 480 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Задание 9: Радиоактивный распад

Это задача на геометрическую прогрессию, так как масса изотопа уменьшается в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

Дано:

• Начальная масса изотопа: \( m_0 = 480 \) мг.
• Период полураспада: 6 минут (масса уменьшается в 2 раза каждые 6 минут).
• Время, прошедшее с начала: 36 минут.

Найти: массу изотопа через 36 минут \( m_{36} \).

Решение:

Сначала определим, сколько раз масса изотопа уменьшится вдвое за 36 минут. Для этого разделим общее время на период полураспада:

\[ \text{Количество периодов} = \frac{36 \text{ минут}}{6 \text{ минут}} = 6 \]

Масса изотопа уменьшится вдвое 6 раз.

Это означает, что нам нужно найти 6-й член геометрической прогрессии (или 7-й, если считать начальную массу первым членом).

Формула для массы через \( k \) периодов полураспада:

\[ m_k = m_0 \times (\frac{1}{2})^k \]

Где \( k \) — количество периодов полураспада.

В нашем случае \( k = 6 \).

\[ m_6 = 480 × \big(\frac{1}{2}\big)^6 \]

\[ m_6 = 480 × \frac{1}{64} \]

\[ m_6 = \frac{480}{64} \]

Разделим:

\[ 480 ÷ 64 = 7.5 \]

Ответ: Масса изотопа через 36 минут составит 7.5 миллиграммов.