9. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Краткая запись:

• Окружность с центром O
• AC и BD — диаметры
• ∠ACB = 36°
• Найти: ∠AOD — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем угол ∠ADB. Угол ∠ADB и угол ∠ACB опираются на одну и ту же дугу AB. Следовательно, ∠ADB = ∠ACB = 36°.
2. Шаг 2: Определяем угол ∠AOD. AC — диаметр, значит, ∠ADC опирается на полуокружность и равен 90°. В прямоугольном треугольнике ADC: ∠CAD = 90° - ∠ADB = 90° - 36° = 54°.
3. Шаг 3: Определяем угол ∠AOD. Угол ∠AOD является центральным углом, опирающимся на дугу AD. Угол ∠ABD является вписанным углом, опирающимся на дугу AD. Следовательно, ∠AOD = 2 * ∠ABD.
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник BOC. OB = OC (радиусы), значит, треугольник BOC равнобедренный. ∠OBC = ∠OCB = 36°.
5. Шаг 5: Определяем угол ∠AOD. Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными, поэтому ∠AOD = ∠BOC. В треугольнике BOC, ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 36° - 36° = 108°.
6. Шаг 6: Следовательно, ∠AOD = 108°.

Ответ: 108°