9. В прямоугольнике ABCD AB=5 см, AD = 12 см. В треугольники АВС и ADC вписаны окружности, которые касаются диагонали АС в точках М и К, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка МК.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим длину диагонали AC прямоугольника ABCD, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC (или ADC).
   \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
   В прямоугольнике \( BC = AD = 12 \) см, \( AB = 5 \) см.
   \( AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
   \( AC = \sqrt{169} = 13 \) см.
2. Шаг 2: Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник ABC. Точка M — точка касания этой окружности с диагональю AC.
   В прямоугольном треугольнике ABC, \( AB = 5 \), \( BC = 12 \), \( AC = 13 \).
   Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле: \( r = \frac{a+b-c}{2} \), где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
   \( r_{ABC} = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) см.
   Отрезки касательных, проведенных из вершины к вписанной окружности, равны.
   Обозначим точки касания окружности со сторонами AB и BC как P и Q соответственно.
   Тогда \( AM = AP \) и \( CM = CQ \).
   \( AP = AB - BP = AB - r_{ABC} = 5 - 2 = 3 \) см.
   \( CM = BC - BQ = BC - r_{ABC} = 12 - 2 = 10 \) см.
   Проверим: \( AM + CM = 3 + 10 = 13 \) см, что равно длине AC.
3. Шаг 3: Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник ADC. Точка K — точка касания этой окружности с диагональю AC.
   Треугольник ADC также прямоугольный с катетами \( AD = 12 \) см и \( DC = AB = 5 \) см, и гипотенузой \( AC = 13 \) см.
   Радиус вписанной окружности в треугольник ADC:
   \( r_{ADC} = \frac{12 + 5 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) см.
   Обозначим точки касания окружности со сторонами AD и DC как R и S соответственно.
   Тогда \( AK = AR \) и \( CK = CS \).
   \( AR = AD - r_{ADC} = 12 - 2 = 10 \) см.
   \( CK = DC - DS = DC - r_{ADC} = 5 - 2 = 3 \) см.
   Проверим: \( AK + CK = 10 + 3 = 13 \) см, что равно длине AC.
4. Шаг 4: Находим длину отрезка MK.
   Точка M находится на расстоянии 3 см от вершины A (AM = 3).
   Точка K находится на расстоянии 10 см от вершины A (AK = 10).
   Отрезок MK = |AK - AM| (или |AM - AK|).
   \( MK = |10 - 3| = 7 \) см.

Ответ: 7 см