9. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 8 и BC = BM. Найдите AH.

Так как \(BM\) — медиана, то \(AM=MC=4\).

Обозначим \(AH=x\), а высоту \(BH=h\). Тогда \(BC^2=(8-x)^2+h^2\), а \(BM^2=(4-x)^2+h^2\).

По условию \(BC=BM\), поэтому \((8-x)^2=(4-x)^2\).

Раскрывая скобки, получаем \(64-16x+x^2=16-8x+x^2\), откуда \(x=6\).

Ответ: 6