12 В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 67. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Решение:

• Поскольку M и N — середины сторон BC и AC соответственно, то отрезок MN является средней линией треугольника ABC.
• Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. То есть, \( MN \parallel AB \) и \( MN = \frac{1}{2} AB \).
• Треугольники CNM и CAB подобны по двум углам (угол C общий, \( \angle CNM = \angle CAB \) и \( \angle CMN = \angle CBA \) как соответственные при параллельных MN и AB и секущих AC и BC).
• Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон: \( k = \frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB} = \frac{MN}{AB} \).
• Так как N и M — середины сторон, то \( CN = \frac{1}{2} CA \) и \( CM = \frac{1}{2} CB \). Следовательно, коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \).
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{CNM}}{S_{CAB}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).
• Нам дана площадь треугольника CNM: \( S_{CNM} = 67 \).
• Найдем площадь треугольника CAB: \( S_{CAB} = 4 \times S_{CNM} = 4 \times 67 \).
• \( S_{CAB} = 268 \).
• Площадь четырёхугольника ABMN равна разности площадей треугольника ABC и треугольника CNM: \( S_{ABMN} = S_{CAB} - S_{CNM} \).
• \( S_{ABMN} = 268 - 67 \).
• \( S_{ABMN} = 201 \).

Ответ: 201