9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 12, sin A = \(\frac{\sqrt{11}}{6}\). Найдите длину стороны AC.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) известны:
• Гипотенуза \(AB = 12\)
• Синус угла \(A\): \(\sin A = \frac{\sqrt{11}}{6}\)
2. Нам нужно найти длину катета \(AC\), который является прилежащим к углу \(A\).
3. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).
4. Найдем \(\cos A\):
• \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \)
• \( \cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 \)
• \( \cos^2 A = 1 - \frac{11}{36} \)
• \( \cos^2 A = \frac{36 - 11}{36} = \frac{25}{36} \)
• Так как \(A\) — острый угол в прямоугольном треугольнике, \(\cos A > 0\).
• \( \cos A = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} \)
5. Теперь воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: \(\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}\).
6. Выразим \(AC\): \(AC = AB \cdot \cos A\).
7. Подставим известные значения:
• \(AC = 12 \cdot \frac{5}{6} \)
• \(AC = \frac{12 \cdot 5}{6} = \frac{60}{6} = 10\)

Ответ: 10