9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4,8, sinA = 7/25. Найдите AB.

Задание 9. Гипотенуза прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• Угол \( C = 90^ \).
• Катет \( AC = 4,8 \).
• \( sinA = \frac{7}{25} \).

Найти: гипотенузу \( AB \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[ sinA = \frac{BC}{AB} \].
2. Мы знаем \( AC \) и \( sinA \). Для начала, найдем \( BC \).
3. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ sin^2A + cos^2A = 1 \].
4. Сначала найдём \( cosA \). Из \( sinA = \frac{7}{25} \) следует, что \( sin^2A = \frac{49}{625} \).
5. Тогда \( cos^2A = 1 - sin^2A = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} \).
6. \( cosA = sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25} \).
7. Теперь выразим \( AC \) через \( cosA \): \( cosA = \frac{AC}{AB} \).
8. Отсюда \( AB = \frac{AC}{cosA} \).
9. Подставим значения: \( AB = \frac{4,8}{\frac{24}{25}} = 4,8 \frac{25}{24} \).
10. \( 4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5} \).
11. \( AB = \frac{24}{5} \frac{25}{24} = \frac{25}{5} = 5 \).

Ответ: 5.