9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 25, sin A = 4/5. Найдите длину стороны АС. Ответ:

Краткое пояснение:

В прямоугольном треугольнике синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Мы можем найти длину катета BC, а затем использовать теорему Пифагора для нахождения AC, или найти косинус угла A и использовать его для нахождения AC.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, \( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \).
   Нам дано \( \sin A = \frac{4}{5} \) и \( AB = 25 \).
   \( \frac{BC}{25} = \frac{4}{5} \).
2. Шаг 2: Найдем длину катета BC:
   \( BC = 25 \cdot \frac{4}{5} = 5 \cdot 4 = 20 \).
3. Шаг 3: Теперь используем теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
   \( AC^2 + 20^2 = 25^2 \).
   \( AC^2 + 400 = 625 \).
4. Шаг 4: Найдем \( AC^2 \):
   \( AC^2 = 625 - 400 = 225 \).
5. Шаг 5: Найдем длину стороны AC:
   \( AC = \sqrt{225} = 15 \).
   Альтернативный метод:
6. Шаг 1: Найдем \( \cos A \) используя основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).
   \( (\frac{4}{5})^2 + \cos^2 A = 1 \).
   \( \frac{16}{25} + \cos^2 A = 1 \).
   \( \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \).
   \( \cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \) (так как угол A острый в прямоугольном треугольнике).
7. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике ABC, \( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \).
   \( \frac{AC}{25} = \frac{3}{5} \).
8. Шаг 3: Найдем длину стороны AC:
   \( AC = 25 \cdot \frac{3}{5} = 5 \cdot 3 = 15 \).

Ответ: 15