9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 6, cos A = (3√13)/13. Найдите длину стороны ВС.

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
2. Нам дано \( \cos A = \frac{3\sqrt{13}}{13} \) и \( AC = 6 \).
3. Подставим известные значения: \( \frac{3\sqrt{13}}{13} = \frac{6}{AB} \).
4. Выразим длину гипотенузы AB: \( AB = \frac{6 \cdot 13}{3\sqrt{13}} = \frac{2 \cdot 13}{\sqrt{13}} = 2\sqrt{13} \).
5. Теперь найдем длину катета BC, используя теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
6. \( (2\sqrt{13})^2 = 6^2 + BC^2 \).
7. \( 4 \cdot 13 = 36 + BC^2 \).
8. \( 52 = 36 + BC^2 \).
9. \( BC^2 = 52 - 36 \).
10. \( BC^2 = 16 \).
11. \( BC = \sqrt{16} = 4 \).
12. Альтернативный способ: найти синус угла A. \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).
13. \( \sin^2 A = 1 - (\frac{3\sqrt{13}}{13})^2 = 1 - \frac{9 \cdot 13}{169} = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13} \).
14. \( \sin A = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} \).
15. Синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
16. \( \frac{2\sqrt{13}}{13} = \frac{BC}{2\sqrt{13}} \).
17. \( BC = \frac{2\sqrt{13}}{13} \cdot 2\sqrt{13} = \frac{4 \cdot 13}{13} = 4 \).

Ответ: 4