9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 90, sin A = \frac{2}{3}. Найдите длину отрезка ВН.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, по определению синуса угла A, имеем: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
2. Шаг 2: Подставим известные значения: \( \frac{2}{3} = \frac{BC}{90} \).
3. Шаг 3: Вычислим длину катета BC: \( BC = 90 \cdot \frac{2}{3} = 30 \cdot 2 = 60 \).
4. Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол C в треугольнике ABC равен 90°, CH — высота. Это означает, что треугольники ACH, BCH и ABC подобны.
5. Шаг 5: Угол B в треугольнике ABC равен \( 90° - A \). Также, в прямоугольном треугольнике BHC, угол BHC равен 90°, угол HBC равен углу ABC, а угол BCH равен углу BAC (или углу A).
6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике BHC, по определению синуса угла BCH (который равен углу A), имеем: \( \sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC} \).
7. Шаг 7: Так как \( \angle BCH = \angle A \), то \( \sin(\angle A) = \frac{BH}{BC} \).
8. Шаг 8: Подставим известные значения: \( \frac{2}{3} = \frac{BH}{60} \).
9. Шаг 9: Вычислим длину отрезка BH: \( BH = 60 \cdot \frac{2}{3} = 20 \cdot 2 = 40 \).

Ответ: 40