9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 180, sinA = 1/6. Найдите длину отрезка АН.

Краткая запись:

• Треугольник ABC, \(\angle C = 90^{\circ}\)
• CH — высота
• AB = 180
• \(\sin A = \frac{1}{6}\)
• Найти: AH — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, зная гипотенузу AB и \(\sin A\), найдем катет BC.
   \(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
   \(BC = AB \cdot \sin A = 180 \cdot \frac{1}{6} = 30\)
2. Шаг 2: Найдем катет AC по теореме Пифагора:
   \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 180^2 - 30^2 = 32400 - 900 = 31500\)
   \(AC = \sqrt{31500} = \sqrt{900 \cdot 35} = 30\sqrt{35}\)
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике AHC, зная угол A и гипотенузу AC, найдем катет AH.
   \(\cos A = \frac{AH}{AC}\)
   Сначала найдем \(\cos A\):
   \(\cos^2 A + \sin^2 A = 1\)
   \(\cos^2 A = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\)
   \(\cos A = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
4. Шаг 4: Вычислим AH:
   \(AH = AC \cdot \cos A = 30\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{30 \cdot 35}{6} = 5 \cdot 35 = 175\)

Ответ: 175