9. В условиях слабой связи телефон делает последовательные попытки передать СМС. Вероятность успешной передачи в каждой отдельной попытке равна 0,1. Какова вероятность того, что для передачи потребуется от двух до четырёх попыток?

Решение:

Пусть \( p \) — вероятность успешной передачи СМС в одной попытке, \( p = 0.1 \).

Пусть \( q \) — вероятность неуспешной передачи СМС в одной попытке. \( q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9 \).

Событие «для передачи потребуется от двух до четырёх попыток» означает, что:

• Потребуется ровно 2 попытки: первая неуспешная, вторая успешная.
• Потребуется ровно 3 попытки: первые две неуспешные, третья успешная.
• Потребуется ровно 4 попытки: первые три неуспешные, четвертая успешная.

Рассчитаем вероятность каждого из этих случаев:

1. Вероятность, что потребуется ровно 2 попытки:

\( P(2 \text{ попытки}) = P(\text{1-я неуспешна}) \times P(\text{2-я успешна}) = q \times p = 0.9 \times 0.1 = 0.09 \).

2. Вероятность, что потребуется ровно 3 попытки:

\( P(3 \text{ попытки}) = P(\text{1-я неуспешна}) \times P(\text{2-я неуспешна}) \times P(\text{3-я успешна}) = q \times q \times p = 0.9 \times 0.9 \times 0.1 = 0.81 \times 0.1 = 0.081 \).

3. Вероятность, что потребуется ровно 4 попытки:

\( P(4 \text{ попытки}) = P(\text{1-я неуспешна}) \times P(\text{2-я неуспешна}) \times P(\text{3-я неуспешна}) \times P(\text{4-я успешна}) = q \times q \times q \times p = 0.9 \times 0.9 \times 0.9 \times 0.1 = 0.729 \times 0.1 = 0.0729 \).

Теперь сложим вероятности этих трех несовместных событий, чтобы найти общую вероятность того, что потребуется от двух до четырёх попыток:

\( P(\text{от 2 до 4 попыток}) = P(2 \text{ попытки}) + P(3 \text{ попытки}) + P(4 \text{ попытки}) \)

\( P(\text{от 2 до 4 попыток}) = 0.09 + 0.081 + 0.0729 \)

\( 0.09 + 0.081 + 0.0729 = 0.171 + 0.0729 = 0.2439 \).

Ответ: 0.2439.