938 Докажите, что если векторы AB⃗ и CD⃗ равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то AB⃗ = CD⃗.

Пусть \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). Обозначим радиус-векторы точек буквами с теми же обозначениями. Тогда

\(\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A\), \(\overrightarrow{CD}=\vec D-\vec C\).

Из равенства векторов получаем:

\(\vec B-\vec A=\vec D-\vec C\), откуда \(\vec A+\vec D=\vec B+\vec C\).

Радиус-вектор середины AD равен \(\frac{\vec A+\vec D}{2}\), а радиус-вектор середины BC равен \(\frac{\vec B+\vec C}{2}\). Они равны, значит, середины совпадают.

Обратно, пусть середины AD и BC совпадают. Тогда

\(\frac{\vec A+\vec D}{2}=\frac{\vec B+\vec C}{2}\), поэтому \(\vec A+\vec D=\vec B+\vec C\).

Переносим слагаемые:

\(\vec B-\vec A=\vec D-\vec C\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\).

Ответ: оба утверждения доказаны.