984. Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры CC₁ и DD₁ к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD₁, если CC₁ = 11 см, а CD = 27 см.

Обозначим через O центр окружности, а через α угол между диаметром CD и касательной. Перпендикулярные расстояния от концов диаметра до касательной — это перпендикулярные составляющие отрезков CO и DO, направленные к одной и той же прямой.

Так как O — середина диаметра CD, проекции C и D на перпендикулярное касательной направление расположены по разные стороны от проекции O. Поэтому сумма расстояний равна перпендикулярной составляющей диаметра:

\(CC_1+DD_1=CD\cdot\sin\alpha\).

Из прямоугольного треугольника, образованного диаметром и касательной, либо по формуле проекции, получаем, что численное значение этой суммы само по себе не задаётся длиной CD: нужен угол α или положение касательной. Однако условие «касательная» к окружности означает, что расстояние от центра O до неё равно радиусу \(CD/2=13.5\) см. Следовательно, для перпендикуляров из концов диаметра их длины удовлетворяют \(|CC_1-DD_1|=CD\sin\alpha\), но без направления расположения концов относительно касательной однозначного значения нет.

Для касательной к окружности, перпендикулярной радиусу к точке касания, а значит не проходящей через концы диаметра, отрезки от концов диаметра до касательной зависят от угла между диаметром и касательной. Данных для определения \(DD_1\) недостаточно; необходимо знать этот угол или положение точки касания.