985. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, а E и F — середины боковых сторон AB и CD. Тогда EF — средняя линия трапеции.

Проведём диагонали AC и BD. Обозначим через M середину AC, а через N середину BD.

В треугольнике ABC отрезок EM соединяет середины AB и AC, поэтому по теореме о средней линии треугольника \(EM\parallel BC\).

В треугольнике ABD отрезок EN соединяет середины AB и BD, поэтому \(EN\parallel AD\). Так как \(AD\parallel BC\), прямые EM и EN параллельны одной прямой и проходят через E, следовательно, совпадают. Значит, M, E и N лежат на одной прямой.

Средняя линия EF параллельна основаниям, поэтому через E проходит именно прямая EF, параллельная AD и BC. Следовательно, середины обеих диагоналей лежат на средней линии трапеции.