152. a) \(\frac{x}{x-1} < \frac{1}{x}\);

Решение неравенства \(\frac{x}{x-1} < \frac{1}{x}\) 1. Перенесем все члены в левую часть неравенства: $$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x} < 0$$ 2. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - (x-1)}{x(x-1)} < 0$$ $$\frac{x^2 - x + 1}{x(x-1)} < 0$$ 3. Рассмотрим числитель \(x^2 - x + 1\). Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3\). Так как \(D < 0\), числитель всегда положителен, т.е. \(x^2 - x + 1 > 0\) при любом \(x\). 4. Тогда знак дроби зависит только от знаменателя, поэтому необходимо, чтобы \(x(x-1) < 0\). 5. Найдем нули знаменателя: \(x = 0\) и \(x = 1\). 6. Определим знаки на интервалах: - При \(x < 0\): \(x(x-1) > 0\) - При \(0 < x < 1\): \(x(x-1) < 0\) - При \(x > 1\): \(x(x-1) > 0\) 7. Таким образом, неравенство выполняется при \(0 < x < 1\). Ответ: \(0 < x < 1\)