а) $$2\frac{1}{3}k = 4\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{9};$$

Сперва преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$

$$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$$

$$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$$

Получаем уравнение:

$$\frac{7}{3}k = \frac{9}{2} \cdot \frac{10}{9}$$

Упростим правую часть:

$$\frac{7}{3}k = \frac{9 \cdot 10}{2 \cdot 9} = \frac{90}{18} = 5$$

Теперь найдем k:

$$k = 5 : \frac{7}{3} = 5 \cdot \frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 3}{7} = \frac{15}{7}$$

Преобразуем в смешанную дробь:

$$k = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$$

Ответ: $$k = 2\frac{1}{7}$$