А13. а) Найдите объём треугольной пирамиды DABC, если АВ = 30, BC = CA = 17 и двугранные углы при основании пирамиды равны 45°. б) В основании пирамиды лежит треугольник АВС, в котором AB=16, BC = 7, ∠ABC = 30°. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 6.

Решение:

а) В основании пирамиды DABC лежит равнобедренный треугольник ABC, так как BC = CA = 17. Пусть основание AC = AB = 30. Высота основания равна: \[ h = \sqrt{17^2 - (30/2)^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \] Площадь основания равна: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120 \] Высота пирамиды равна: \[ H = \frac{S}{P} \cdot \tan{45°} \] где Р - периметр основания. Так как углы при основании равны 45°, то высота равна радиусу вписанной окружности, то есть h = r. \[ r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2 \cdot 120}{30 + 17 + 17} = \frac{240}{64} = \frac{15}{4} = 3.75 \] Тогда объем пирамиды равен: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 3.75 = 40 \cdot 3.75 = 150 \] б) Площадь основания (треугольника ABC) равна: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{∠ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 7 \cdot \sin{30°} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 28 \] Объем пирамиды равен: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 6 = 28 \cdot 2 = 56 \]

Ответ: а) 150, б) 56