А12. а) Основанием пирамиды служит прямоугольник. Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды. б) Основанием пирамиды служит прямоугольник. Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 3. Найдите объём пирамиды.

Решение:

а) Пусть основание пирамиды - прямоугольник со сторонами a и b. Высота пирамиды равна 9. Так как три боковые грани наклонены к основанию под углом 60°, то можно найти площадь основания. Пусть h - высота пирамиды, h = 9. Тогда площадь основания S равна: \[ S = \frac{h^2}{\tan^2{60°}} = \frac{9^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{81}{3} = 27 \] Объем пирамиды V равен: \[ V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 9 = 81 \] б) В данном случае высота пирамиды равна 3. Тогда площадь основания S равна: \[ S = \frac{h^2}{\tan^2{60°}} = \frac{3^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{9}{3} = 3 \] Объем пирамиды V равен: \[ V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 = 3 \]

Ответ: а) 81, б) 3