A16. б) Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 37°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\) с прямым углом \(\angle B = 90°\). \(BE\) - биссектриса, \(BM\) - медиана, проведенные из вершины \(B\). По условию \(\angle EBM = 37°\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то есть \(AM = MC = BM\). Значит, \(\triangle ABM\) - равнобедренный, и \(\angle BAM = \angle ABM\). Так как \(BE\) - биссектриса угла \(\angle ABC\), то \(\angle ABE = \angle CBE = 45°\). \(\angle ABM = \angle ABE + \angle EBM = 45° + 37° = 82°\). Тогда \(\angle BAM = 82°\). Следовательно, \(\angle C = 90° - 82° = 8°\). Меньший угол прямоугольного треугольника равен 8°.