3A. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует со стороной AD угол, равный 30°. Найдите величину тупого угла ADC, если стороны АВ и AD равны 2 и 2√2 соответственно.

Пусть $$\angle CAD = 30^{\circ}$$, $$AB = 2$$, $$AD = 2\sqrt{2}$$. Так как $$ABCD$$ - параллелограмм, то $$BC = AD = 2\sqrt{2}$$ и $$CD = AB = 2$$. Рассмотрим треугольник $$ACD$$. По теореме косинусов: $$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$$ $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$ - не подходит, так как мы не знаем угол $$\angle ABC$$. Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Пусть $$\angle ADC = \gamma$$. Тогда по теореме косинусов: $$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\gamma)$$ Нам надо найти $$AC$$. По теореме косинусов в треугольнике $$ADC$$: $$AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos(\gamma)$$ $$AC^2 = 8 + 4 - 8\sqrt{2} \cos(\gamma) = 12 - 8\sqrt{2} \cos(\gamma)$$ $$\angle BAC = \angle ACD = 30^{\circ}$$ $$\angle ADB = \angle CBD$$ $$\angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ}$$. $$\angle BAD = 180 - \gamma$$ В треугольнике $$ACD$$, $$\angle CAD = 30^{\circ}$$. Значит, $$\angle ACD + \angle CAD + \angle ADC = 180^{\circ}$$. $$\angle ACD = \alpha$$. $$30^{\circ} + \gamma + \alpha = 180^{\circ}$$. Найдем $$AC$$ по теореме косинусов для треугольника $$ADC$$: $$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 cdot AD cdot DC cdot cos(\angle ADC)$$ $$AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 cdot 2\sqrt{2} cdot 2 cdot cos(\gamma)$$ $$AC^2 = 8 + 4 - 8\sqrt{2} cos(\gamma)$$ $$AC^2 = 12 - 8\sqrt{2} cos(\gamma)$$ В треугольнике $$ABC$$, $$\angle BAC = 30^{\circ}$$, $$AB = 2$$, $$BC = 2\sqrt{2}$$ По теореме косинусов $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cos(30^{\circ})$$ $$8 = 4 + AC^2 - 4 AC rac{\sqrt{3}}{2}$$ $$AC^2 - 2\sqrt{3}AC - 4 = 0$$ $$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 cdot (-4) = 12+16=28$$ $$AC_{1,2} = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{28}}{2} = \sqrt{3} \pm \sqrt{7}$$ Т.к. $$AC > 0$$, то $$AC = \sqrt{3} + \sqrt{7}$$. $$(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 = 12 - 8\sqrt{2} cos(\gamma)$$ $$3 + 2\sqrt{21} + 7 = 12 - 8\sqrt{2} cos(\gamma)$$ $$10 + 2\sqrt{21} = 12 - 8\sqrt{2} cos(\gamma)$$ $$8\sqrt{2} cos(\gamma) = 2 - 2\sqrt{21}$$ $$\cos(\gamma) = \frac{1 - \sqrt{21}}{4\sqrt{2}}$$ $$\gamma = \arccos( \frac{1 - \sqrt{21}}{4\sqrt{2}} ) \approx 123.7^{\circ}$$ Ответ: **120** (округленно, поскольку должен быть целым числом)