418. а) Диагональ KN параллелограмма KPNR в два раза больше его стороны KR. Найдите угол между диагоналями параллелограмма, если ∠OKR = 42. Ответ дайте в градусах. б) В параллелограмме ABCD диагональ BD в два раза больше стороны AB и ∠BDC = 54°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

a) Обозначим KR = a, тогда KN = 2a. Так как KPNR - параллелограмм, то KP = NR и KN = PR. Рассмотрим треугольник KRP. В нем KR = a, KP = NR, PR = 2a. Так как KN = 2a, то PR = 2a. Следовательно, PR = 2KR. Треугольник PKR - прямоугольный, так как квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон. Угол PKR равен 90°. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, следовательно, OK = OR = PR/2 = a. Тогда треугольник OKR - равнобедренный, следовательно, угол ORK равен углу OKR и равен 42°. Тогда угол KOR равен 180° - 42° - 42° = 96°. Угол между диагоналями равен 96°. Ответ: 96° б) Обозначим AB = a, тогда BD = 2a. Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и BC = AD. Рассмотрим треугольник BCD. В нем CD = a, BC = AD, BD = 2a. Следовательно, BD = 2CD. Треугольник BCD - прямоугольный, так как одна из сторон в два раза больше другой. Угол BCD равен 90°. Так как сумма углов BCD и ADC равна 180°, то угол ADC равен 90°. Значит, ABCD - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, значит, BO = OD, AO = OC, AC = BD. Тогда OD = BD/2 = a. Следовательно, треугольник CDO - равнобедренный, CO = OD. Угол CDO равен углу BDC и равен 54°. Тогда угол DOC равен 180° - 54° - 54° = 72°. Угол между диагоналями равен 72°. Ответ: 72°