37. а) Два мотоциклиста выехали одновременно с одинаковой скоростью из пункта А в пун В, находящимися друг от друга на расстоянии 100 км. Через 30 мин после начала движен у одного из них случился прокол и ему пришлось остановиться для замены колеса. Потр тив на это 15 мин, он продолжил движение, увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч и прибыл в пункт В одновременно с мотоциклистом, двигавшимся без остановок. За сколь часов они преодолели путь из А в В?

Пошаговое решение:

1. Обозначим первоначальную скорость мотоциклистов как \(v\) (км/ч), а время в пути как \(t\) (часы).
2. Первый мотоциклист проехал первые 30 минут (0,5 часа) со скоростью \(v\), затем 15 минут (0,25 часа) стоял, а затем ехал со скоростью \(v + 10\) км/ч в течение \(t - 0,5 - 0,25 = t - 0,75\) часов.
3. Второй мотоциклист ехал всё время \(t\) со скоростью \(v\). Оба проехали 100 км.
4. Составим уравнение:
   \[0,5v + (t - 0,75)(v + 10) = vt\]
5. Раскроем скобки и упростим:
   \[0,5v + vt + 10t - 0,75v - 7,5 = vt\qquad 0,5v - 0,75v + 10t - 7,5 = 0\qquad -0,25v + 10t = 7,5\]
6. Также знаем, что \(vt = 100\), то есть \(v = \frac{100}{t}\). Подставим это в уравнение:
7. \[-0,25 \cdot \frac{100}{t} + 10t = 7,5\qquad -\frac{25}{t} + 10t = 7,5\]
8. Умножим обе части на \(t\):
   \[-25 + 10t^2 = 7,5t\qquad 10t^2 - 7,5t - 25 = 0\qquad 20t^2 - 15t - 50 = 0\qquad 4t^2 - 3t - 10 = 0\]
9. Решим квадратное уравнение:
   \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2\qquad t_1 = \frac{3 + 13}{8} = \frac{16}{8} = 2\qquad t_2 = \frac{3 - 13}{8} = -\frac{10}{8} = -1,25\]
10. Отрицательное время не подходит, поэтому \(t = 2\) часа.

Ответ: 2 часа.