290. а) Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скорост весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости перво автомобиля на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 84 км/ч, в результа чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомоб ля, если известно, что она больше 50 км/ч.

Разбираем сложную задачу:

Пошаговое решение:

1. Пусть скорость первого автомобиля равна \(v\) км/ч, а расстояние между А и В равно \(2s\) км.
2. Время, которое первый автомобиль тратит на путь из А в В: \(\frac{2s}{v}\) часов.
3. Второй автомобиль первую половину пути (\(s\) км) ехал со скоростью \(v - 9\) км/ч, а вторую половину пути (\(s\) км) — со скоростью 84 км/ч.
4. Время, которое второй автомобиль тратит на путь из А в В: \(\frac{s}{v - 9} + \frac{s}{84}\) часов.
5. Так как они прибыли одновременно, составим уравнение:
   \[\frac{2s}{v} = \frac{s}{v - 9} + \frac{s}{84}\]
6. Разделим обе части на \(s\):
   \[\frac{2}{v} = \frac{1}{v - 9} + \frac{1}{84}\]
7. Умножим обе части на \(84v(v - 9)\):
   \[2 \cdot 84(v - 9) = 84v + v(v - 9)\qquad 168(v - 9) = 84v + v^2 - 9v\qquad 168v - 1512 = 75v + v^2\qquad v^2 - 93v + 1512 = 0\]
8. Решим квадратное уравнение:
   \[D = (-93)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1512 = 8649 - 6048 = 2601 = 51^2\qquad v_1 = \frac{93 + 51}{2} = \frac{144}{2} = 72\qquad v_2 = \frac{93 - 51}{2} = \frac{42}{2} = 21\]
9. По условию скорость первого автомобиля больше 50 км/ч, значит, подходит только \(v = 72\) км/ч.

Ответ: 72 км/ч.