287. а) Два мотоциклиста выехали одновременно с одинаковой скоростью из пункта А в пункт В, находящимися друг от друга на расстоянии 100 км. Через 30 мин после начала движения у одного из них случился прокол и ему пришлось остановиться для замены колеса. Потра- тив на это 15 мин, он продолжил движение, увеличив первоначальную скорость на 10 км/час, и прибыл в пункт В одновременно с мотоциклистом, двигавшимся без остановок. За сколько часов они преодолели путь из А в В?

Пусть скорость мотоциклистов $$v$$ км/ч, а время в пути $$t$$ часов.

Первый мотоциклист проехал 0,5 часа со скоростью $$v$$, затем стоял 0,25 часа, а затем ехал со скоростью $$v + 10$$ км/ч в течение $$t - 0,5 - 0,25$$ часов.

Второй мотоциклист ехал все время $$t$$ часов с постоянной скоростью $$v$$.

Запишем уравнение:

$$0,5v + (t - 0,75)(v + 10) = vt = 100$$

$$0,5v + vt + 10t - 0,75v - 7,5 = vt$$

$$ -0,25v + 10t - 7,5 = 0 $$

$$ v = 40t - 30 $$

$$ vt = 100 $$

$$ (40t - 30)t = 100 $$

$$ 40t^2 - 30t - 100 = 0 $$

$$ 4t^2 - 3t - 10 = 0 $$

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 $$

$$ t_1 = \frac{3 + \sqrt{169}}{8} = \frac{3 + 13}{8} = \frac{16}{8} = 2 $$

$$ t_2 = \frac{3 - 13}{8} = \frac{-10}{8} = -1,25 $$

Время не может быть отрицательным, поэтому $$t = 2$$ часа.

Ответ: 2 часа.