155. а) Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки O равно 6.

Давайте решим эту задачу. У нас есть окружность с центром в точке O, из точки A проведены две касательные к этой окружности. Угол между касательными равен 60 градусам, а расстояние от точки A до центра окружности O равно 6.

Представим себе, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, у нас образуется прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это расстояние от точки A до центра O, а катет - это радиус окружности. Угол между касательной и линией, соединяющей точку A с центром O, равен половине угла между касательными, то есть 30 градусам.

Обозначим радиус окружности как r. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, касательной и отрезком AO, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус. Синус угла в 30 градусов равен отношению противолежащего катета (радиуса r) к гипотенузе (расстоянию AO, которое равно 6).

Запишем это в виде формулы:

$$sin(30°) = \frac{r}{6}$$

Мы знаем, что sin(30°) = 0.5. Подставим это значение в формулу:

$$0.5 = \frac{r}{6}$$

Чтобы найти радиус r, умножим обе части уравнения на 6:

$$r = 0.5 * 6$$ $$r = 3$$

Таким образом, радиус окружности равен 3.

Ответ: 3