6. А на каком основан.. ты (не)помогавший ... претен ешь на помощь товарищей?

Применим ПРОТОКОЛ А (орфография).

1. Определим орфограмму: безударная гласная в окончании существительного.
2. Сформулируем школьное правило: 1 скл. → Р.п. И; Д.п. Е; П.п. Е. 2 скл. → П.п. Е. 3 скл. → Р.п., Д.п., П.п. И.
3. Для определения безударной гласной определим падеж и склонение слова: основание (предложный падеж, 2 склонение).
4. Разберём слово:
   • Запишем слово с пропуском: основании.
   • Определим морфемы: основа-ни-и.
   • Сравним варианты написания: основании.
5. Вывод: в слове "основании" пишется гласная и в безударном положении, так как это предложный падеж, 2 склонение.

Применим ПРОТОКОЛ К (Контекстный выбор (НЕ/НИ, союзы, предлоги)).

1. Определим, что требуется выбрать: НЕ или раздельно.
2. Определим часть речи: причастие.
3. Подставим каждый вариант в предложение:
   • А на каком основании ты непомогавший ... претен ешь на помощь товарищей?
   • А на каком основании ты не помогавший ... претен ешь на помощь товарищей?
4. Сравним смысл и логику: Если нет зависимого слова, то "не" с причастием пишется слитно.
5. Запишем корректный вариант: не помогавший.

Ответ: А на каком основании ты (не)помогавший ... претен ешь на помощь товарищей?