а) На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и H соответственно; \( \angle A = \angle BMH = 50^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \). Найдите \( \angle MHC \).

Решение:

1. Дано: \( \triangle ABC \), \( M \in AB \), \( H \in BC \), \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle BMH = 50^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \).
2. Найдём \( \angle AMH \). \( \angle BMH \) и \( \angle AMH \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^\circ \). \( \angle AMH = 180^\circ - \angle BMH = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
3. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Сумма углов равна \( 180^\circ \). \( \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ \).
4. Рассмотрим \( \triangle BMH \). \( \angle B = 70^\circ \), \( \angle BMH = 50^\circ \). \( \angle BHM = 180^\circ - \angle B - \angle BMH = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ \).
5. \( \angle BHM \) и \( \angle MHC \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^\circ \). \( \angle MHC = 180^\circ - \angle BHM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Ответ: \( \angle MHC = 120^\circ \).