в) На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и D, так что АВ || CD. Точка М принадлежит отрезку AB; \( \angle MCA = \angle MCD \), \( \angle MDC = \angle MDB \). Докажите, что \( AB = AC + BD \).

Доказательство:

1. Так как \( AB \parallel CD \), то \( \angle BAC = \angle ACD \) (накрест лежащие при параллельных \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \)).
2. \( \angle MCA = \angle MCD \) по условию.
3. Следовательно, \( \angle BAC = \angle MCA \).
4. Это означает, что \( \triangle AMC \) — равнобедренный с \( AM = AC \).
5. Рассмотрим \( \triangle MBD \). \( \angle MDC = \angle MDB \) по условию.
6. Рассмотрим \( \triangle CMB \). \( \angle CMB = \angle CMD \) (вертикальные углы).
7. \( \angle MBD \) и \( \angle CDB \) — накрест лежащие при параллельных \( AB \) и \( CD \) и секущей \( BD \). Поэтому \( \angle MBD = \angle CDB \).
8. Так как \( \angle MDC = \angle MDB \) и \( \angle CDB = \angle MDB \), то \( \angle MDC = \angle CDB \).
9. Это означает, что \( MD \) — биссектриса \( \angle CDB \).
10. Рассмотрим \( \triangle MBD \) и \( \triangle CBD \). \( \angle MBD = \angle CDB \) и \( \angle MDB = \angle CDB \).
11. Если \( \angle MDB = \angle CDB \), то \( \triangle MBD \) — равнобедренный с \( MB = BD \).
12. Теперь рассмотрим \( AB \). \( AB = AM + MB \).
13. Так как \( AM = AC \) и \( MB = BD \), то \( AB = AC + BD \).

Доказано.