629. а) Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 9, а периметр равен 28. Найдите площадь трапеции.

Пусть (a) и (b) - основания трапеции, где (a = 4) и (b = 9). Пусть (c) - боковая сторона равнобедренной трапеции. Периметр трапеции равен сумме длин всех её сторон: (P = a + b + 2c).

Подставим известные значения: (28 = 4 + 9 + 2c).

Решим уравнение относительно (c):

$$28 = 13 + 2c$$

$$2c = 28 - 13$$

$$2c = 15$$

$$c = \frac{15}{2} = 7.5$$

Теперь найдём высоту трапеции (h). Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Тогда большее основание разделится на отрезки длиной ((b - a) / 2) и (a).

Длина отрезка: (x = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5).

Высоту (h) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (c), высотой (h) и отрезком (x):

$$h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{7.5^2 - 2.5^2} = \sqrt{56.25 - 6.25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Площадь трапеции (S) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$

Подставим известные значения:

$$S = \frac{4 + 9}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{13}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{65\sqrt{2}}{2} \approx 45.96$$

Ответ: Площадь трапеции равна $$\frac{65\sqrt{2}}{2} \approx 45.96$$.