А1. Последовательность (хₙ) задана формулой n-го члена Xₙ = n²-5n а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности. б) Запишите седьмой член последовательности. в) Определите, содержаться ли в этой последовательности число -4.

Решение:

Последовательность задана формулой $$x_n = n^2 - 5n$$.

а) Выпишем первые 5 членов этой последовательности, подставляя в формулу значения $$n = 1, 2, 3, 4, 5$$:

• $$x_1 = 1^2 - 5 \cdot 1 = 1 - 5 = -4$$
• $$x_2 = 2^2 - 5 \cdot 2 = 4 - 10 = -6$$
• $$x_3 = 3^2 - 5 \cdot 3 = 9 - 15 = -6$$
• $$x_4 = 4^2 - 5 \cdot 4 = 16 - 20 = -4$$
• $$x_5 = 5^2 - 5 \cdot 5 = 25 - 25 = 0$$

б) Запишем седьмой член последовательности, подставляя в формулу значение $$n = 7$$:

• $$x_7 = 7^2 - 5 \cdot 7 = 49 - 35 = 14$$

в) Определим, содержится ли в этой последовательности число -4. Для этого решим уравнение:

$$n^2 - 5n = -4$$

$$n^2 - 5n + 4 = 0$$

По теореме Виета:

$$n_1 + n_2 = 5$$

$$n_1 \cdot n_2 = 4$$

$$n_1 = 1, n_2 = 4$$.

Так как корни уравнения являются натуральными числами, то число -4 содержится в этой последовательности.

Ответ: а) -4, -6, -6, -4, 0; б) 14; в) содержится.