А1. Последовательность (хn) задана формулой n-го члена Xn = n²-5n а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности. б) Запишите седьмой член последовательности. в) Определите, содержаться ли в этой последовательности число -4.

Решение:

а) Чтобы найти первые 5 членов последовательности, подставим значения n = 1, 2, 3, 4, 5 в формулу Xn = n²-5n

n = 1: $$X_1 = 1^2 - 5 \cdot 1 = 1 - 5 = -4$$

n = 2: $$X_2 = 2^2 - 5 \cdot 2 = 4 - 10 = -6$$

n = 3: $$X_3 = 3^2 - 5 \cdot 3 = 9 - 15 = -6$$

n = 4: $$X_4 = 4^2 - 5 \cdot 4 = 16 - 20 = -4$$

n = 5: $$X_5 = 5^2 - 5 \cdot 5 = 25 - 25 = 0$$

б) Найдем седьмой член последовательности, подставив n = 7 в формулу Xn = n²-5n

n = 7: $$X_7 = 7^2 - 5 \cdot 7 = 49 - 35 = 14$$

в) Чтобы определить, содержится ли число -4 в последовательности, решим уравнение n² - 5n = -4

$$n^2 - 5n + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

$$n_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$n_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Так как n = 1 и n = 4 являются натуральными числами, то число -4 содержится в данной последовательности.

Ответ: а) -4, -6, -6, -4, 0; б) 14; в) содержится.