а) Постройте график функции в удобном масштабе (10 баллов).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Функция задана как f(x) = x² + 4x - 1. Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при x² положительный).

1. Находим вершину параболы:
   Абсцисса вершины: \( x_в = -b / (2a) \) = \(-4 / (2 · 1) = -2\).
   Ордината вершины: \( y_в = f(-2) = (-2)² + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \).
   Вершина параболы находится в точке \( (-2, -5) \).
2. Находим точки пересечения с осью Y (x=0):
   \( f(0) = 0² + 4 · 0 - 1 = -1 \).
   Точка пересечения с осью Y: \( (0, -1) \).
3. Находим точки пересечения с осью X (y=0):
   Решаем квадратное уравнение \( x² + 4x - 1 = 0 \).
   Используем дискриминант: \( D = b² - 4ac = 4² - 4 · 1 · (-1) = 16 + 4 = 20 \).
   \( x_{1,2} = (-b ± √{D}) / (2a) = (-4 ± √{20}) / 2 = (-4 ± 2√{5}) / 2 = -2 ± √{5} \).
   \( x_1 ≈ -2 - 2.236 = -4.236 \)
   \( x_2 ≈ -2 + 2.236 = 0.236 \)
   Точки пересечения с осью X: \( (−2 - √{5}, 0) \) и \( (−2 + √{5}, 0) \).
4. Находим дополнительные точки для построения графика:
   Возьмем \( x = -1 \): \( f(-1) = (-1)² + 4(-1) - 1 = 1 - 4 - 1 = -4 \). Точка \( (-1, -4) \).
   Возьмем \( x = -3 \): \( f(-3) = (-3)² + 4(-3) - 1 = 9 - 12 - 1 = -4 \). Точка \( (-3, -4) \).
   Возьмем \( x = 1 \): \( f(1) = 1² + 4(1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4 \). Точка \( (1, 4) \).

График функции: