А1. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке O, AD = 5 см, ВС = 2 см, АО = 25 см. Чему равен отрезок ВО? 1) 15 см 2) 5 см 3) 20 см 4) 10 см

Рассмотрим подобные треугольники AOD и COB.

1. Запишем отношение сторон:

$$\frac{AO}{CO} = \frac{AD}{BC}$$

2. Выразим CO:

$$CO = \frac{AO \cdot BC}{AD} = \frac{25 \cdot 2}{5} = 10 \text{ см}$$

3. Найдем AC:

$$AC = AO - CO = 25 - 10 = 15 \text{ см}$$

4. Запишем отношение сторон:

$$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO}$$ $$\frac{AO}{CO} = \frac{AD}{BC}$$

5. Выразим DO через BO, зная, что \(\frac{AO}{CO} = \frac{5}{2}\):

$$\frac{5}{2} = \frac{DO}{BO}$$ $$DO = \frac{5}{2}BO$$

6. Рассмотрим подобные треугольники AOB и COD:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$

7. Заменим OC на (AO - AC):

$$\frac{AO}{AO-AC} = \frac{BO}{OD}$$ $$\frac{25}{25-15} = \frac{BO}{OD}$$ $$\frac{25}{10} = \frac{BO}{OD}$$ $$\frac{5}{2} = \frac{BO}{OD}$$

8. \(OD = \frac{2}{5}BO\)

9. Запишем:

$$\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO}$$ $$\frac{5}{2} = \frac{25}{CO} = \frac{DO}{BO}$$

10. Выразим BO через BC, зная, что \(\frac{DO}{BO} = \frac{5}{2}\):

$$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}$$ $$\frac{BO}{OD} = \frac{5}{2}$$ $$BO = \frac{BC \cdot AO}{AD} = \frac{2 \cdot (25 + BO)}{5}$$

11. \(BO = x\)

$$\frac{5}{2} = \frac{AO}{CO}$$ $$\frac{AO}{CO} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$$ $$\frac{5}{2} = \frac{DO}{BO}$$ $$BO = \frac{2}{5} DO$$ $$\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} = \frac{DO}{BO}$$

Пусть BO = x. Тогда:

$$\frac{5}{2} = \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{x}$$ $$\frac{AO}{OC} = \frac{5}{2}$$ $$OC = \frac{2}{5} AO = \frac{2}{5} \cdot 25 = 10$$

Так как \(\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} = \frac{DO}{BO}\), то \(\frac{5}{2} = \frac{DO}{BO}\), откуда \(DO = \frac{5}{2} BO\).

Тогда:

$$\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO}$$ $$\frac{5}{2} = \frac{25}{10} = \frac{DO}{BO}$$

Тогда BO = 10 см.

Ответ: 4) 10 см